GRADO: SEGUNDO
ÁREA: Matemáticas
TIEMPO: Proyecto para realizar durante una hora
HERRAMIENTAS DEL DOCENTE: Televisor, vídeos , libros , juegos didácticos
PREGUNTA GENERADORA: ¿ Que tanto interpretas un conjunto y como le das su solución?
LOGRO PARA EL ESTUDIANTE:Comprender y conocer mas sobre el tema de los conjuntos matemáticos, por medio de ejemplos los cuales ayudaran a distinguir cada tipo logrando calificarlos y desarrollarlos
PALABRAS CLAVE:
- ELEMENTO: Es cada uno de los componentes de un conjunto dado.
- INTERSECCIÓN : Es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida.
- COMPLEMENTO: Es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original.
- LLAVES: Signo que agrupa distintos elementos que integran una misma serie ({}).
- UNIÓN DE CONJUNTOS : Operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los mismos de los conjuntos iniciales
Un conjunto es la agrupación, clase, o colección de objetos o en
su defecto de elementos que pertenecen y responden a la
misma categoría o grupo de cosas, por
eso se los puede agrupar en
el mismo conjunto. Esta relación de pertenencia que se
establece entre los objetos o elementos es absoluta y
posiblemente discernible y observable por cualquier persona. Entre los
objetos o elementos susceptibles de integrar o conformar un
conjunto se cuentan por supuesto cosas físicas, como pueden ser las mesas,
sillas y libros, pero también por entes abstractos como números o letras.
Es una manera de decir cuál está en un conjunto. El conjunto se nombra
generalmente con una mayúscula como esto:
A = {definición del conjunto}1
La definición del conjunto está dentro de las
llaves: {}. Hay dos estilos de la definición del conjunto que
pueden estar en llaves.
- · Lista: Si un conjunto tiene apenas algunos elementos, el conjunto puede ser definido enumerando todos los elementos:
B = {libro, lápiz, borrador}2
En esta definición, el conjunto B tiene tres elementos:
libro, lápiz, y borrador.
- · Regla: Un conjunto se puede definir por una regla. Mientras que esta regla puede simplemente ser una oración por ejemplo{El conjunto de toda la roca en mi jardín.}, los símbolos de la matemáticas se utilizan típicamente:
C = { x | x ∈ ℕ, x < 20 }3
Conjunto C contiene
todos los números naturales menos de 20.
Las características que presenta un conjunto son:
En un conjunto es posible determinar la pertenencia de los elementos que lo conforman.
- Se identifica con letra mayúscula.
- Sus elementos se identifican con letra minúscula, se tienen que ser bien explícitos.
- El orden de los elementos es irrelevante.
- Un conjunto puede ser finito o infinito.
CONJUNTO UNITARIO
Un Conjunto Unitario será aquella colección cuya
Cardinalidad resulte igual a uno. Así también, la Teoría de Conjunto ha dejado claro que en realidad no importa el tipo o naturaleza del elemento que conforma el Conjunto Unitario, mientras su número sea igual a uno, por ende puede tratarse de una letra, un número, una fruta, un color, etc.
CONJUNTO INFINITIVO
Es el conjunto con ilimitado número de elementos
Los conjuntos infinitos son aquellos a los cuales no les podemos contar la cantidad de elementos que los componen.
Ejemplos:
¿Cuántos números pares hay? ¿Cuántos múltiplos tiene el tres? Estos conjuntos son infinitos, y no es porque este más allá de nuestra capacidad contar la cantidad de elementos que tienen. Es que es imposible hacerlo porque no hay un número que represente la cantidad de elementos que el conjunto contiene.
C={x∣x números pares}.A={x∣x múltiplos de tres}.
CONJUNTO UNIVERSAL
Con el ánimo de evitar confusiones, cuando definimos un conjunto debemos especificar de donde se están tomando los elementos que lo conforman. Esto significa que debe existir una base de la cual tomamos los elementos, esta base sobre el cual trabajamos es llamada conjunto universal. Usaremos siempre la letra UU para representar el conjunto universal.
Por ejemplo, si quieres definir BB como el conjunto conformado por las vocales aa e i,i, el conjunto universal podría ser el conjunto de las vocales. En la figura anterior se muestra cómo puedes usar los diagramas de Venn para representar la relación entre el conjunto BB y su conjunto universal U.U.
Observa que el conjunto universal puede tener exactamente los elementos de los conjuntos que abarca o más
CONJUNTO VACIO
También, haciendo uso de la descripción por extensión, representamos el conjunto vacío por medio de los corchetes {}. Como el conjunto vacío no tiene elementos, no podemos ubicar ningún elemento en el interior de los corchetes.
POR EXTENCION
Para describir los elementos de un determinado conjunto los puedes mencionar uno a uno, a esto se conoce como descripción por extensión. Definamos QQ como el conjunto conformado por los colores del arco iris, en este caso podemos describir el conjunto QQ por extensión así:
Q={rojo,naranja,amarillo,verde,azul,´ındigo,violeta}Q={rojo,naranja,amarillo,verde,azul,ı´ndigo,violeta}
Si un conjunto tiene muchos elementos puedes hacer uso de los puntos suspensivos para describir el conjunto por extensión. Si el conjunto WW está conformado por los cien primeros números, puedes representarlo de la siguiente manera:
W={1,2,3,... ,98,99,100}W={1,2,3,... ,98,99,100}
En este caso no se muestran los cien elementos que conforman el conjunto. Sin embargo, los puntos suspensivos representan todos los elementos que, por comodidad, no hemos escrito.
POR COMPRENCION:
En algunos casos los conjuntos pueden tener una variada cantidad de elementos y la descripción por extensión resultaría muy ardua. Se puede entonces describir los conjuntos mencionando las características que comparten los elementos que los conforman. Por ejemplo, si CC es el conjunto conformado por todos los países del mundo se puede escribir:
En donde la barra | se lee como “tales que”. Así, la anterior expresión se lee: “CC es el conjunto de los xx, tales que xx es un país”. En este caso el símbolo xx es usado simplemente para representar los elementos del conjunto CC.
POR IGUALDAD
Se dice que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Una forma práctica de establecer si dos conjuntos son iguales es determinar si se contienen el uno al otro.
Conectivos
En algunas ocasiones los elementos que conforman un conjunto deben satisfacer más de una condición, o una de varias. En tales casos se usan los conectivos disyunción y conjunción.
La disyunción
Observa el siguiente ejemplo: Sea A={a|a es un animal mamífero volador}.A={a|a es un animal mamífero volador}. En esta ocasión hay dos condiciones para los animales que conforman el conjunto A:A: ser mamífero o volar. La disyunción es la letra “o” que las conecta y esta significa que los elementos que conformen el conjunto deben satisfacer alguna de las dos condiciones o ambas.
Para este caso, por ejemplo, la abeja cumple la condición de volar, por lo que debe pertenecer al conjunto. El gato por su parte cumple la condición de ser mamífero, por lo que también debe pertenecer a A.A. El murciélago cumple las dos condiciones, ya que es un mamífero que vuela, así que también pertenece a A.A.
La conjunción
Definamos el conjunto PP así: sea P={p|p es un n´umero mayor que cero y menor que cero}P={p|p es un nu´mero mayor que cero y menor que cero} En este caso también hay dos condiciones pero están unidas por la conjunción “y”. Esto significa que los elementos que pertenezcan al conjunto deben cumplir las dos condiciones simultáneamente.
Como no hay números que satisfagan las dos condiciones a la vez, se concluye que el conjunto PP no tiene elementos.
También es posible combinar los anteriores conectivos para establecer las condiciones que deben cumplir los elementos de un determinado conjunto. Por ejemplo: sea K={k|k es un n´umero mayor o igual que 4 y menor que 8}.K={k|k es un nu´mero mayor o igual que 4 y menor que 8}.
Como te puedes dar cuenta, en la definición de los elementos del conjunto KK hay dos condiciones: “ser mayor o igual que 4” y “ser menor que 8”, como estas condiciones están unidas por un “y” se deben cumplir ambas. Entre tanto la condición “ser mayor o igual que 4” está compuesta por dos condiciones unidas por una disyunción, lo que significa que la cumplirán los números que sean mayores que 44 o iguales a 4.4.
En el siguiente diagrama de Venn puedes ver la representación de los anteriores conjuntos KK y P,P, y el conjunto L={l|l es mayor o igual que 1 y menor que 5}:L={l|l es mayor o igual que 1 y menor que 5}:
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Se dicen iguales, lo que se escribe si consta de los mismos elementos.
Es decir, si y solo si todo elemento de A esta también contenido en B y todo elemento de B está contenido en A.
Ejemplo:
A= {1, 2, 3,4 ,5 ,6}
B= {6, 4,3 ,2 ,1}
A=B Se dice que el conjunto a es igual al conjunto B.
CONJUNTO DE POTENCIA
Otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado.
Todos los subconjuntos
Si tenemos un conjunto {a,b,c}:
· Un subconjunto suyo podría ser {a}, o {b}, o {a,c}, o los demás
· Y {a,b,c} también es un subconjunto de {a,b,c} (sí, es verdad, pero no es un "subconjunto propio")
· Y el conjunto vacío {} también es un subconjunto de {a,b,c}
De hecho, si haces una lista de todos los subconjuntos de S={a,b,c} tendrás el conjunto potencia de {a,b,c}:
P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }
Piensa en que estas son las diferentes maneras de elegir los elementos (el orden no importa), incluido tomarlos todos o ninguno.
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Se usa el símbolo que se muestra en la figura de la izquierda como el símbolo de la pertenencia. Si queremos representar que cierto objeto no pertenece a determinado conjunto usaremos el mismo símbolo atravesado por una línea, como se muestra en la figura de la derecha. Veamos cómo debe ser usado este símbolo:
EJEMPLO:
RELACIÓN DE CONTENENCIA
Se usa el símbolo que se muestra en la figura de la izquierda como el símbolo de la contenencia.
Si queremos representar la no contenencia de conjuntos usaremos el mismo símbolo atravesado por una línea como se muestra en la figura de la derecha.
SUBCONJUNTOS
Un subconjunto se da cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro.
Por ejemplo, el conjunto de frutas rojas y el conjunto de frutas amarillas son subconjuntos del conjunto de frutas, puesto que todas las frutas rojas son frutas, y todas las frutas amarillas son frutas también:
APRENDE MAS AQUÍ
Los diagramas de Venn son una forma para representar gráficamente conjuntos , subconjuntos , intersecciones , y uniones .
EJEMPLO:
La unión de conjuntos son las operaciones más reconocidas y utilizadas, en relación a la teoría de conjuntos. En base a ellas, combinándolas o no, resolverás algunas
La unión de conjuntos, da como resultado un nuevo conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. Escrito con símbolos. La unión de dos conjuntos (por ejemplo llamados G y H) se denota así:
G U H
Si queremos expresarlo en DIAGRAMAS DE VENN deben
Primero representarse todos los elementos en sus perspectivos conjuntos y luego incluyen todos (sin repetirlos) en un mismo diagrama.
Ejemplo:
Primero definimos a los respectivos conjuntos:
G= {a, b, c, e ,f, g, h}
H= {a, e, i, o, u}
G H= {a, e}
En efecto, a y e, son los único elementos en común es de ir que están presentes en los dos conjuntos a la vez.
La intercección de dos conjuntos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes o
(Repetidos) a los conjuntos de partida o iniciales.Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disyuntivos
Y se representa S ∩ D = Ø
El símbolo que representa la intersección es este: ∩
Por ejemplo:
F= {amarillo, azul, verde, morado}
G= {verde, café, negro, gris, rojo}
Entonces F ∩ G= {Verde, rojo} ya que son elementos que se repiten en ambos conjuntos.
La diferencia de conjuntos es la operación binaria, en la cual dos conjuntos cualquiera, A y B, especifican cuales elementos de uno de los conjuntos no están en el oro formando un nuevo conjunto llamado DIFERENCIA.
Es posible establecer dos conjuntos DIFERENCIA, cuando se operan dos conjuntos cualquiera.
9.1- SIMBOLOGIA DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS
El símbolo de la DIFERENCIA es: -
La diferencia del conjunto A y el conjunto B, se representa como: A-B
La diferencia del conjunto B y el conjunto A, se representa como: B-A
Ambas operaciones arrojan resultados distintos, cuando ambos conjuntos o son iguales: A-B B-A
9.2 -REALIZACIÓN DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS EN FORMA EXTENSIVA
Sean dos conjuntos A y B.
Sea A definido si: A= {j, u, g, o, d, e}
Sea B definido así: B = {m, a, n, g, o}
La primera diferencia posible se representa así: A-B= (j, u, d, e)
La segunda diferencia posible se representa así: B-A= (m, o, n)
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